Licenca
To delo je na voljo pod pogoji slovenske licence Creative Commons 2.5:

priznanje avtorstva - nekomercialno - deljenje pod enakimi pogoji.

Celotna licenca je na voljo na spletu na naslovu http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/si/. V skladu s to licenco je dovoljeno vsakemu uporabniku delo razmnoževati, distribuirati, javno priobčevati, dajati v najem in tudi predelovati, vendar samo v nekomercialne namene in ob pogoju, da navede avtorja oziroma avtorje in izdajatelja tega dela. Če uporabnik delo predela, kar pomeni, da ga spremeni, preoblikuje, prevede ali uporabi to delo v svojem delu, lahko predelavo dela ponudi na voljo le pod pogoji, ki so enaki pogojem iz te licence oziroma pod enako licenco.

Povzetek

Vektorski produkt $\overset{\rightharpoonup}{a}\times \overset{\rightharpoonup}{b}$ je vektor z lastnostmi:

  • je pravokoten na vektorja $\overset{\rightharpoonup}{a}$ in $\overset{\rightharpoonup}{b}$,
  • njegova dolžina je številsko enaka ploščini paralelograma, ki ga določata vektorja $\overset{\rightharpoonup}{a}$ in $\overset{\rightharpoonup}{b}$ s skupnim izhodiščem,
  • usmerjenost je določena s pravilom desnega vijaka: 
    če desni vijak, ki je pravokoten na $\overset{\rightharpoonup}{a}$ in $\overset{\rightharpoonup}{b}$, zavrtimo tako, da se $\overset{\rightharpoonup}{a}$ po najkrajši poti zavrti v $\overset{\rightharpoonup}{b}$, poten se vijak premakne v smeri $\overset{\rightharpoonup}{a}\times\overset{\rightharpoonup}{b}$.

Dolžina vektorja $\overset{\rightharpoonup}{a}\times \overset{\rightharpoonup}{b}$ je enaka $$|\overset{\rightharpoonup}{a}\times\overset{\rightharpoonup}{b}|=|\overset{\rightharpoonup}{a}||\overset{\rightharpoonup}{b}|\sin\varphi,$$ kjer je $\varphi$ kot med vektorjema $\overset{\rightharpoonup}{a}$ in $\overset{\rightharpoonup}{b}$.

Vektorski produkt je enak $\overset{\rightharpoonup}{0}$ natanko takrat, ko sta vektorja kolinearna.

Lastnosti vektorskega produkta

  • $\overset{\rightharpoonup}{b}\times\overset{\rightharpoonup}{a}=-\overset{\rightharpoonup}{a}\times\overset{\rightharpoonup}{b}$ antikomutativnost
  • $(m\overset{\rightharpoonup}{a})\times\overset{\rightharpoonup}{b}=m(\overset{\rightharpoonup}{a}\times\overset{\rightharpoonup}{b})=\overset{\rightharpoonup}{a}\times(m\overset{\rightharpoonup}{b})$ homogenost
  • $\overset{\rightharpoonup}{a}\times(\overset{\rightharpoonup}{b}+\overset{\rightharpoonup}{c})=\overset{\rightharpoonup}{a}\times\overset{\rightharpoonup}{b}+\overset{\rightharpoonup}{a}\times\overset{\rightharpoonup}{c}$ distributivnost
  • $(\overset{\rightharpoonup}{a}+\overset{\rightharpoonup}{b})\times\overset{\rightharpoonup}{c}=\overset{\rightharpoonup}{a}\times\overset{\rightharpoonup}{c}+\overset{\rightharpoonup}{b}\times\overset{\rightharpoonup}{c}$ distributivnost

Za bazne vektorje $\overset{\rightharpoonup}{i},\overset{\rightharpoonup}{j},\overset{\rightharpoonup}{k}$ velja:$$\overset{\rightharpoonup}{i}\times\overset{\rightharpoonup}{i}=\overset{\rightharpoonup}{j}\times\overset{\rightharpoonup}{j}=\overset{\rightharpoonup}{k}\times\overset{\rightharpoonup}{k}=\overset{\rightharpoonup}{0}$$ $$\overset{\rightharpoonup}{i}\times\overset{\rightharpoonup}{j}=\overset{\rightharpoonup}{k},\overset{\rightharpoonup}{j}\times\overset{\rightharpoonup}{k}=\overset{\rightharpoonup}{i},\overset{\rightharpoonup}{k}\times\overset{\rightharpoonup}{i}=\overset{\rightharpoonup}{j}$$

Komponente vektorskega produkta

Za vektorja $\overset{\rightharpoonup}{a}=(a_1,a_2,a_3)$ in $\overset{\rightharpoonup}{b}=(b_1,b_2,b_3)$ velja: $$\overset{\rightharpoonup}{a}\times\overset{\rightharpoonup}{b}= \left(\left| \matrix{a_2&a_3\cr b_2&b_3} \right|,\left| \matrix{a_3&a_1\cr b_3&b_1} \right|,\left| \matrix{a_1&a_2\cr b_1&b_2} \right|\right)=$$ $$=(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)$$

Ploščina paralelograma $ABCD$: $$S=|\overset{\Large\rightharpoonup}{AB}\times\overset{\Large\rightharpoonup}{AD}|$$ Ploščina trikotnika $ABC$: $$S=\frac{1}{2}|\overset{\Large\rightharpoonup}{AB}\times\overset{\Large\rightharpoonup}{AC}|$$

<NAZAJ
>NAPREJ329/703