Osnovni izrek algebre

Ničla funkcije
Ničla funkcije $f$ je taka vrednost spremenljivke $x$, za katero je vrednost funkcije enaka $0$.
Velja: $f(x)=0$

Geometrijski pomen realne ničle funkcije
Realne ničle funkcije so abscise presečišč grafa funkcije z osjo $x$.

$p(x)=x^2+1$
$x_1=i, x_2=-i$

Tak polinom ne obstaja.

Naj bo $z=a+bi$ in $w=c+di$.

Izračunamo levo stran enakosti.
$\overline{z+w}=\overline{a+bi+c+di}$
$\overline{z+w}=\overline{(a+c)+i(b+d)}$
$\overline{z+w}=a+c-i(b+d)$
$\overline{z+w}=a+c-ib-id$

Izračunamo desno stran enakosti.
$\overline{z}+\overline{w}=\overline{a+bi}+\overline{c+di}$
$\overline{z}+\overline{w}=a-bi+c-di$

Ker je leva stran enaka desni, velja $\overline{z+w}=\overline{z} + \overline{w}$.

Naj bo $z=a+bi$ in $w=c+di$.

Izračunamo levo stran enakosti.
$\overline{z \cdot w}=\overline{(a+bi)\cdot(c+di)}$
$\overline{z \cdot w}=\overline{ac+adi+bci+bdi^2)}$
$\overline{z \cdot w}=\overline{ac+adi+bci-bd)}$
$\overline{z \cdot w}=ac-adi-bci-bd$

Izračunamo desno stran enakosti.
$\overline{z}\cdot \overline{w}=\overline{a+bi}\cdot\overline{c+di}$
$\overline{z}\cdot \overline{w}=(a-bi)(c-di)$
$\overline{z}\cdot \overline{w}=ac-adi-bci+bdi^2$
$\overline{z}\cdot \overline{w}=ac-adi-bci-bd$

Ker je leva stran enaka desni, velja $\overline{z\cdot w}=\overline{z} \cdot \overline{w}$.

Razpišemo potenco.
$\overline{z^n}=\overline{z \cdot z \cdot...\cdot z}$

Uporabimo točko b).
$\overline{z^n}=\overline{z}\cdot \overline{z} \cdot ...\cdot \overline{z}$

Izraz zapišemo nazaj s potenco.
$\overline{z^n}=\overline{z}^n$